在数学中，三角函数是研究三角形、周期性现象和波动问题的重要工具。它们广泛应用于物理、工程、计算机科学等多个领域。掌握三角函数的基本公式，对于理解和解决相关问题至关重要。以下是对三角函数常用公式的总结，并以表格形式进行展示，便于查阅和记忆。 一、基本定义 设一个角为 $ \theta $，其在直角坐标系中的终边与单位圆交于点 $ (x, y) $，则： | 函数名称 | 定义式 | | 正弦（sin） | $ \sin\theta = y $ | | 余弦（cos） | $ \cos\theta = x $ | | 正切（tan） | $ \tan\theta = \frac{y}{x} $ | | 余切（cot） | $ \cot\theta = \frac{x}{y} $ | | 正割（sec） | $ \sec\theta = \frac{1}{x} $ | | 余割（csc） | $ \csc\theta = \frac{1}{y} $ |
二、基本恒等式 | 公式 | 说明 | | $ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 $ | 基本勾股恒等式 | | $ 1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta $ | 与正切、正割的关系 | | $ 1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta $ | 与余切、余割的关系 | | $ \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} $ | 正切的定义 | | $ \cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} $ | 余切的定义 |
三、诱导公式（角度转换） | 角度变化 | 公式 | | $ \sin(-\theta) = -\sin\theta $ | 奇函数性质 | | $ \cos(-\theta) = \cos\theta $ | 偶函数性质 | | $ \sin(\pi - \theta) = \sin\theta $ | 对称性 | | $ \cos(\pi - \theta) = -\cos\theta $ | 对称性 | | $ \sin(\pi + \theta) = -\sin\theta $ | 周期性 | | $ \cos(\pi + \theta) = -\cos\theta $ | 周期性 | | $ \sin(2\pi - \theta) = -\sin\theta $ | 周期性 | | $ \cos(2\pi - \theta) = \cos\theta $ | 周期性 |
四、和差公式 | 公式 | 说明 | | $ \sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B $ | 正弦的和差公式 | | $ \cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B $ | 余弦的和差公式 | | $ \tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B} $ | 正切的和差公式 |
五、倍角公式 | 公式 | 说明 | | $ \sin 2\theta = 2\sin\theta \cos\theta $ | 双角正弦 | | $ \cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta $ | 双角余弦 | | $ \cos 2\theta = 2\cos^2\theta - 1 $ | 余弦的另一种表达方式 | | $ \cos 2\theta = 1 - 2\sin^2\theta $ | 余弦的另一种表达方式 | | $ \tan 2\theta = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta} $ | 双角正切 |
六、半角公式 | 公式 | 说明 | | $ \sin\frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}} $ | 半角正弦 | | $ \cos\frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}} $ | 半角余弦 | | $ \tan\frac{\theta}{2} = \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta} $ | 半角正切 | | $ \tan\frac{\theta}{2} = \frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta} $ | 半角正切的另一种表达 |
七、积化和差与和差化积 | 公式 | 说明 | | $ \sin A \cos B = \frac{1}{2} [\sin(A+B) + \sin(A-B)] $ | 积化和差 | | $ \cos A \cos B = \frac{1}{2} [\cos(A+B) + \cos(A-B)] $ | 积化和差 | | $ \sin A \sin B = \frac{1}{2} [\cos(A-B) - \cos(A+B)] $ | 积化和差 | | $ \sin A + \sin B = 2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right) $ | 和差化积 | | $ \cos A + \cos B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right) $ | 和差化积 | | $ \sin A - \sin B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right) $ | 和差化积 | | $ \cos A - \cos B = -2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right) $ | 和差化积 |
八、其他重要公式 | 公式 | 说明 | | $ \sin(\theta + 2k\pi) = \sin\theta $ | 周期性 | | $ \cos(\theta + 2k\pi) = \cos\theta $ | 周期性 | | $ \tan(\theta + k\pi) = \tan\theta $ | 周期性 | | $ \sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos\theta $ | 互补角关系 | | $ \cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin\theta $ | 互补角关系 |
总结 三角函数的公式繁多，但通过系统地学习和归纳，可以有效地掌握其核心内容。以上公式涵盖了从基本定义到高级变换的多个方面，适用于考试复习、作业解答以及实际应用。建议在学习过程中结合图形理解，并通过练习加深记忆。 |